The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
app(add(n, x), y) →⁺ add(n, app(x, y))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [x / add(n, x)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
app < shuff
reverse < shuff

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
app < shuff
reverse < shuff

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Induction Base:
app(gen_nil:add4_0(0), gen_nil:add4_0(b)) →_R^Ω(1)
gen_nil:add4_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add4_0(+(n6_0, 1)), gen_nil:add4_0(b)) →_R^Ω(1)
add(hole_head3_0, app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b))) →_IH
add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(+(b, c7_0)))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuff

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

Induction Base:
reverse(gen_nil:add4_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
reverse(gen_nil:add4_0(+(n585_0, 1))) →_R^Ω(1)
app(reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)), add(hole_head3_0, nil)) →_IH
app(gen_nil:add4_0(c586_0), add(hole_head3_0, nil)) →_L^{Ω(1 + n585₀)}
gen_nil:add4_0(+(n585_0, +(0, 1)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
shuff

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol shuff.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

(18) BOUNDS(n^2, INF)

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(20) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) → gen_nil:add4_0(n585_0), rt ∈ Ω(1 + n585₀ + n585₀²)

(21) BOUNDS(n^2, INF)

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) → true
null(add(n, x)) → false
tail(add(n, x)) → x
tail(nil) → nil
head(add(n, x)) → n
app(nil, y) → y
app(add(n, x), y) → add(n, app(x, y))
reverse(nil) → nil
reverse(add(n, x)) → app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) → shuff(x, nil)
shuff(x, y) → if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) → y
if(false, x, y, z) → shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add → true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head → nil:add → nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add → nil:add
head :: nil:add → head
app :: nil:add → nil:add → nil:add
reverse :: nil:add → nil:add
shuffle :: nil:add → nil:add
shuff :: nil:add → nil:add → nil:add
if :: true:false → nil:add → nil:add → nil:add → nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat → nil:add

Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) ⇔ add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) → gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(24) BOUNDS(n^1, INF)